Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≤1}\\{f（x-1），x＞1}\end{array}\right.$，g（x）=kx+1，若方程f（x）-g（x）=0有兩個不同實根，則實數(shù)k的取值范圍為（$\frac{e-1}{2}$，1）∪（1，e-1]．

Answer 1

分析 方程f（x）-kx=1有兩個不同實根可化為函數(shù)f（x）與函數(shù)y=kx+1有兩個不同的交點，作函數(shù)f（x）與函數(shù)y=kx+1的圖象，結(jié)合函數(shù)的圖象求解．

解答 解：∵g（x）=kx+1，
∴方程f（x）-g（x）=0有兩個不同實根等價為方程f（x）=g（x）有兩個不同實根，
即f（x）=kx+1，
則等價為函數(shù)f（x）與函數(shù)y=kx+1有兩個不同的交點，
當(dāng)1＜x≤2，則0＜x-1≤1，則f（x）=f（x-1）=e^x-1，
當(dāng)2＜x≤3，則1＜x-1≤2，則f（x）=f（x-1）=e^x-2，
當(dāng)3＜x≤4，則2＜x-1≤3，則f（x）=f（x-1）=e^x-3，
…
當(dāng)x＞1時，f（x）=f（x-1），周期性變化；
函數(shù)y=kx+1的圖象恒過點（0，1）；
作函數(shù)f（x）與函數(shù)y=kx+1的圖象如下，
C（0，1），B（2，e），A（1，e）；
故k_AC=e-1，k_BC=$\frac{e-1}{2}$；
在點C處的切線的斜率k=e⁰=1；
結(jié)合圖象可得，
實數(shù)k的取值范圍為（$\frac{e-1}{2}$，1）∪（1，e-1]；
故答案為：

點評 本題考查了方程的根與函數(shù)的圖象之間的關(guān)系應(yīng)用及學(xué)生的作圖能力，同時考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化法進行求解是解決本題的關(guān)鍵．