Question

6．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=3a_n+2
（I）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=（2n+1）（a_n+1），求{b_n}的前項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）化簡(jiǎn)可得{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，從而求得a_n=2•3^n-1-1；
（Ⅱ）化簡(jiǎn)b_n=（2n+1）2•3^n-1，從而利用錯(cuò)位相減法求其前n項(xiàng)和即可．

解答 解：（I）∵a_n+1=3a_n+2，
∴a_n+1+1=3（a_n+1），又∵a₁+1=2，
∴{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
故a_n+1=2•3^n-1，
故a_n=2•3^n-1-1；
（Ⅱ）b_n=（2n+1）（a_n+1）=（2n+1）2•3^n-1，
故T_n=2×3×1+2×5×3+2×7×3²+…+（2n+1）2×3^n-1，
3T_n=2×3×3+2×5×3²+2×7×3³+…+（2n+1）2×3ⁿ，
兩式作差可得，
2T_n=-6-2×2×3-2×2×3²-2×2×3³-…-2×2×3^n-1+（2n+1）×2×3ⁿ，
故T_n=-3-2×3-2×3²-2×3³-…-2×3^n-1+（2n+1）×3ⁿ
=-3-2$\frac{3（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$+（2n+1）×3ⁿ
=2n3ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及構(gòu)造法的應(yīng)用，同時(shí)考查了錯(cuò)位相減法的應(yīng)用．