Question

13．某臍橙基地秋季出現(xiàn)持續(xù)陰雨寡照等異常天氣，對(duì)臍橙物候和產(chǎn)量影響明顯，導(dǎo)致臍橙春季物候期推遲，畸形花增多，果實(shí)偏小，落果增多，對(duì)產(chǎn)量影響較大．為此有關(guān)專家退出2種在異常天氣下提高臍橙果樹產(chǎn)量的方案，每種方案都需分兩年實(shí)施．實(shí)施方案1：預(yù)計(jì)第一年可以使臍橙倡糧恢復(fù)到災(zāi)前的1.0倍、0.8倍的概率分別是0.4、0.6；第二年可以使臍橙產(chǎn)量為第一年產(chǎn)量的1.25倍、1.1倍的概率分別是0.5、0.5．實(shí)施方案2：預(yù)計(jì)第一年可以使臍橙產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前1.2倍、0.8倍的概率分別是0.5、0.5；第二年可以使臍橙產(chǎn)量為第一年產(chǎn)量的1.25倍、1.0倍的概率分別是0.6、0.4．實(shí)施每種方案第一年與第二年相互對(duì)立，令X₁表示方案1實(shí)施兩年后臍橙產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量的倍數(shù)，X₂表示方案2實(shí)施兩年后臍橙產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量的倍數(shù)．
（1）分別求X₁、X₂的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）不管哪種方案，如果實(shí)施兩年后，臍橙產(chǎn)量不高于和高于災(zāi)前產(chǎn)量的預(yù)計(jì)利潤(rùn)分別為12萬(wàn)元和20萬(wàn)元，為了實(shí)現(xiàn)兩年后的平均利潤(rùn)最大化，應(yīng)該選擇哪種方案？

Answer 1

分析 （1）把實(shí)施方案一的數(shù)據(jù)列表整理，能求出X₁的分布列的數(shù)學(xué)期望；把實(shí)施方案二的數(shù)據(jù)列表整理，能求出X₂的分布列的數(shù)學(xué)期望．
（2）記方案一的預(yù)計(jì)利潤(rùn)數(shù)為Y₁，求出Y₁的分布列和期望；記方案二的預(yù)計(jì)利潤(rùn)數(shù)為Y₂，求出Y₂的分布列和期望，由EY₁＜EY₂，得到為了實(shí)現(xiàn)兩年后的平均利潤(rùn)最大化，應(yīng)該選擇方案2．

解答 解：（1）實(shí)施方案一的數(shù)據(jù)具體見下表：

	第一年 （對(duì)于災(zāi)前）		第二年 （對(duì)于第一年）		第二年 （對(duì)于災(zāi)前）
倍數(shù)	1.0	0.8	1.25	1.10	1.25	1.1	0.9	0.88
相應(yīng)頻率	0.4	0.6	0.5	0.5	0.2	0.2	0.3	0.3

由表可得X₁的分布列：

X1	1.25	1.1	0.9	0.88
P	0.2	0.2	0.3	0.3

EX₁=1.25×0.2+1.1×0.2+0.9×0.3+0.88×0.3=1.004．
實(shí)施方案二的數(shù)據(jù)具體見下表：

	第一年 （對(duì)于災(zāi)前）		第二年 （對(duì)于第一年）		第二年 （對(duì)于災(zāi)前）
倍數(shù)	1.2	0.8	1.25	1.10	1.5	1.32	1.0	0.88
相應(yīng)頻率	0.5	0.5	0.6	0.4	0.3	0.2	0.3	0.2

由表可得X₂的分布列為：

X2	1.5	1.32	1.0	0.88
P	0.3	0.2	0.3	0.2

EX₂=1.5×0.3+1.32×0.2+1.0×0.3+0.88×0.2=1.19．
（2）記方案一的預(yù)計(jì)利潤(rùn)數(shù)為Y₁，則Y₁的分布列為：

Y1	12	20
P	0.6	0.4

EY₁=12×0.6+20×0.4=15.2．
記方案二的預(yù)計(jì)利潤(rùn)數(shù)為Y₂，則Y₂的分布列為：

Y2	12	20
P	0.5	0.5

EY₂=12×0.5+20×0.5=16．
∵EY₁＜EY₂，
∴為了實(shí)現(xiàn)兩年后的平均利潤(rùn)最大化，應(yīng)該選擇方案2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．