Question

1．如圖，在空間多面體ABCDE中，四邊形ABCD為直角梯形，AB∥DC，AD⊥CD，△ADE是正三角形，CD=DE=2AB=2a，CE=$\sqrt{2}$CD．
（1）求證：平面CDE⊥平面ADE；
（2）求多面體ABCDE的體積．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理的逆定理可得CD⊥DE，結(jié)合AD⊥CD得出CD⊥平面ADE，從而平面CDE⊥平面ADE；
（2）作EG⊥AD，則可證明EG⊥平面ABCD，于是多面體體積等于四棱錐E-ABCD的體積．

解答 證明：（1）∵CD=DE，CE=$\sqrt{2}$CD，
∴CD²+DE²=CE²，
∴CD⊥DE
又CD⊥AD，AD?平面ADE，DE?平面ADE，AD∩DE=D，
∴CD⊥平面ADE，又CD?平面CDE，
∴平面CDE⊥平面ADE．
（2）過E作EG⊥AD，垂足為G，
∵CD⊥平面ADE，GE?平面ADE，
∴CD⊥GE，
又GE⊥AD，AD?平面ABCD，CD?平面ABCD，AD∩CD=D，
∴GE⊥平面ABCD．
∵△ADE是等邊三角形，DE=2a，
∴GE=$\sqrt{3}a$．
∵S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（AB+CD）•AD=$\frac{1}{2}×$（a+2a）•2a=3a²．
∴多面體ABCDE的體積V=V_E-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABCD}•EG$=$\frac{1}{3}×3{a}^{2}×\sqrt{3}a$=$\sqrt{3}$a³．

點評 本題考查了面面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．