Question

2．如圖，三棱錐O-ABC的三條棱OA，OB，OC兩兩垂直且OA=OB=OC=$\sqrt{2}$，△ABC為
等邊三角形，M為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)P在OM的延長線上，且OM=$\frac{1}{3}$MP，PA=PB．
（1）證明：AB⊥平面POC；
（2）求三棱錐A-PBC的體積．

Answer 1

分析 （1）證明AB⊥OC，AB⊥PO，即可證明AB⊥平面POC；
（2）利用等體積轉(zhuǎn)換，即可求三棱錐A-PBC的體積．

解答 （1）證明：因?yàn)槿�棱錐O-ABC的三條棱OA，OB，OC，
所以O(shè)C⊥OA，OC⊥OB，
因?yàn)镺A∩OB=O，所以O(shè)C⊥平面OAB，
而AB?平面OAB，所以AB⊥OC．   …（2分）
取AB中點(diǎn)D，連結(jié)OD，PD．由OA=OB有AB⊥OD．
由PA=PB有AB⊥PD．                                    …（3分）
因?yàn)镺D∩PD=D，所以AB⊥平面POD，
而PO?平面POD，所以AB⊥PO．               …（5分）
因?yàn)镺C∩OP=O，所以AB⊥平面POC，…（6分）
（2）解：由已知可得V_C-OAB=$\frac{1}{3}{S}_{△OAB}•OC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，…（8分）
且AB=AC=BC=2
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$                            …（9分）
設(shè)點(diǎn)O、P到平面ABC的距離分別為h₁，h₂，
由V_O-ABC=V_C-OAB得，$\frac{1}{3}$S_△ABCh₁=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，則h₁=$\frac{\sqrt{6}}{3}$       …（10分）
∵$\frac{{h}_{1}}{{h}_{2}}$=$\frac{OM}{MP}$=$\frac{1}{3}$，∴h₂=$\sqrt{6}$                           …（11分）
∴V_A-PBC=V_P-ABC=$\frac{1}{3}$S_△ABCh₂=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{6}$=$\sqrt{2}$      …（12分）

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查三棱錐體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．