Question

2．已知O是銳角△ABC的外心，B=30°，若$\frac{cosA}{sinC}$$\overrightarrow{BA}$+$\frac{cosC}{sinA}$$\overrightarrow{BC}$=λ$\overrightarrow{BO}$，則λ=1．

Answer 1

分析 作出圖形，根據(jù)三角形外心的定義以及向量數(shù)量積的計(jì)算公式及三角函數(shù)的定義即可得出$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BO}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{BA}{|}^{2}，\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BO}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{BC}{|}^{2}$，這樣在$\frac{cosA}{sinC}\overrightarrow{BA}+\frac{cosC}{sinA}\overrightarrow{BC}=λ\overrightarrow{BO}$的兩邊同乘以$\overrightarrow{BO}$，便可得出$\frac{cosA}{sinC}|\overrightarrow{BA}{|}^{2}+\frac{cosC}{sinA}|\overrightarrow{BC}{|}^{2}=λ|\overrightarrow{BO}{|}^{2}$，可設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，從而由正弦定理便可得到$cosA|\overrightarrow{BA}|2R+cosC|\overrightarrow{BC}|2R=λ{(lán)R}^{2}$，再根據(jù)正弦定理便可得出2sin（A+C）=λ，而A+C=150°，從而便可得出λ的值．

解答 解：如圖，由$\frac{cosA}{sinC}\overrightarrow{BA}+\frac{cosC}{sinA}\overrightarrow{BC}=λ\overrightarrow{BO}$得：
$\frac{cosA}{sinC}\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BO}$$+\frac{cosC}{sinA}\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BO}=λ{(lán)\overrightarrow{BO}}^{2}$；
∴$\frac{1}{2}•\frac{cosA}{sinC}•|\overrightarrow{BA}{|}^{2}+\frac{1}{2}•\frac{cosC}{sinA}•|\overrightarrow{BC}{|}^{2}=λ|\overrightarrow{BO}{|}^{2}$；
即$cosA|\overrightarrow{BA}|•\frac{|\overrightarrow{BA}|}{sinC}+cosC|\overrightarrow{BC}|•\frac{|\overrightarrow{BC}|}{sinA}$=$2λ|\overrightarrow{BO}{|}^{2}$；
設(shè)△ABC外接圓半徑為R，則$|\overrightarrow{BO}|=R$；
在△ABC中由正弦定理得：$\frac{|\overrightarrow{BA}|}{sinC}=\frac{|\overrightarrow{BC}|}{sinA}=2R$；
∴$cosA|\overrightarrow{BA}|•2R+cosC|\overrightarrow{BC}|•2R=2λ{(lán)R}^{2}$；
∴$cosA|\overrightarrow{BA}|+cosC|\overrightarrow{BC}|=λR$；
∴2RsinCcosA+2RcosCsinA=λR；
∴2sin（C+A）=2sin150°=λ；
∴λ=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，三角函數(shù)的定義，正弦定理，三角形外心的定義，以及兩角和的正弦公式，三角形的內(nèi)角和為180°．