Question

10．已知數(shù)列{a_n}滿足2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N^*），其前n項(xiàng)和為S_n，當(dāng)n=15時(shí)，S_奇-S_偶=30，且a₃=10，若b_n=$\frac{1}{2}$a_n-30，且數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n的最小值．

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列的奇偶項(xiàng)性質(zhì)求出公差d，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)，可得等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，再求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、二次函數(shù)的性質(zhì)，可求前n項(xiàng)和T_n的最小值．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足2a_n+1=a_n+a_n+2，n為正整數(shù)，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∵當(dāng)n=15時(shí)，S_奇-S_偶=30，∴a₈=30，
又a₃=10，則公差d=$\frac{{a}_{8}-{a}_{3}}{8-3}$=4，
由a₃=a₁+2d=10，解得a₁=2，
∴a_n=2+（n-1）×4=4n-2，則b_n=$\frac{1}{2}$a_n-30=2n-31，
∴T_n=2（1+2+3+…+n）-31n=$2×\frac{n（1+n）}{2}$-31n
=n²-30n=（n-15）²-225，
∴當(dāng)n=15時(shí)，T_n的最小值為-225．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，以及等差數(shù)列的奇偶項(xiàng)性質(zhì)，考查等差數(shù)列數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值問題．