Question

20．設(shè)復(fù)數(shù)列{x_n}滿足x_n≠a-1，0，且x_n+1=$\frac{a{x}_{n}}{{x}_{n}+1}$，若對任意n∈N^*，都有x_n+3=x_n，則a的值是$-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{3}}{2}i$．

Answer 1

分析 通過x_n+1=$\frac{a{x}_{n}}{{x}_{n}+1}$化簡可知x_n+3=$\frac{{a}^{3}{x}_{n}}{（{a}^{2}+a+1）{x}_{n}+1}$=x_n，整理可得（a²+a+1）x_n（x_n+1-a）=0，從而只需求解方程a²+a+1=0的復(fù)數(shù)根即可．

解答 解：依題意，x_n+3=$\frac{a{x}_{n+2}}{{x}_{n+2}+1}$
=$\frac{a•\frac{{ax}_{n+1}}{{x}_{n+1}+1}}{\frac{a{x}_{n+1}}{{x}_{n+1}+1}+1}$
=$\frac{{a}^{2}{x}_{n+1}}{（a+1）{x}_{n+1}+1}$
=$\frac{{a}^{2}•\frac{{ax}_{n}}{{x}_{n}+1}}{（a+1）•\frac{a{x}_{n}}{{x}_{n}+1}+1}$
=$\frac{{a}^{3}{x}_{n}}{（{a}^{2}+a+1）{x}_{n}+1}$
=x_n，
∴a³x_n=（a²+a+1）${{x}_{n}}^{2}$+x_n，
∴（a³-1）x_n=（a²+a+1）${{x}_{n}}^{2}$，
整理得：（a²+a+1）x_n（x_n+1-a）=0，
∵x_n≠a-1、0，
∴a²+a+1=0，
解得：a=$-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{3}}{2}i$，
故答案為：$-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{3}}{2}i$．

點評 本題是一道關(guān)于數(shù)列與復(fù)數(shù)的綜合題，綜合性強，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于難題．