Question

已知點(diǎn)P（x，y）在直線x+2y=3上移動(dòng)，當(dāng)2^x+4^y取得最小值時(shí)，過(guò)點(diǎn)P引圓（x-

1

2

^）2+（y+

1

4

^）2=

1

2

的切線，則此切線段的長(zhǎng)度為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程

專題：直線與圓

分析：要求切線段的長(zhǎng)度，利用直角三角形中半徑已知，P與圓心的距離未知，所以根據(jù)基本不等式求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出即可．

解答： 解：利用基本不等式及x+2y=3得：2^x+4^y≥2

2x•4y

=2

2x+2y

=4

2

，當(dāng)且僅當(dāng)2^x=4^y=2

2

，
即當(dāng)x=

3

2

、y=

3

4

時(shí)，取等號(hào)，∴P（

3

2

，

3

4

）．
根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出P到圓心的距離為

( 3 2 - 1 2 )2+( 3 4 + 1 4 )2

=

2

，且圓的半徑的平方為

1

2

，
然后根據(jù)勾股定理得到此切線段的長(zhǎng)度為

( 2 )2- 1 2

=

6

2

，
故答案為：

6

2

．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)利用基本不等式求函數(shù)的最值，會(huì)利用兩點(diǎn)間的距離公式求線段長(zhǎng)度，會(huì)利用勾股定理求直角的三角形的邊長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題．