Question

11．遞增等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₅²=a₁₀，2a_n+5S_n=5S_n+1-2a_n+2．
（1）求a_n；
（2）設(shè)b_n=a_n|cos$\frac{nπ}{2}$|，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，若T_n=340，求n的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得公比，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；
（2）通過(guò)對(duì)n的奇偶性進(jìn)行討論，可知當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)a_n=2ⁿ、當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)a_n=0，利用等比數(shù)列的求和公式，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
則a₅²=a₁₀，即為a₅²=a₅q⁵，即a₅=q⁵，
2a_n+5S_n=5S_n+1-2a_n+2，可得2a_n=5a_n+1-2a_n+2，
即為2a_n=5qa_n-2q²a_n，即2q²-5q+2=0，
解得q=2或$\frac{1}{2}$，
若q=2，則a₅=32，可得a_n=2ⁿ；
若q=$\frac{1}{2}$，則a₅=$\frac{1}{32}$，可得a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ（舍去），
綜上可得，a_n=2ⁿ；
（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，cos$\frac{nπ}{2}$=±1，∴a_n=2ⁿ，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，cos$\frac{nπ}{2}$=0，∴a_n=0，
T_n=2²+2⁴+…+2^2m
=4+4²+4³+…+4^m=$\frac{4（1-{4}^{m}）}{1-4}$=340，
解得m=4，可得n=8或9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和公式的運(yùn)用，考查特殊角的三角函數(shù)值，注意解題方法的積累，屬于中檔題．