Question

1．在（1，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：①f（2x）=cf（x）（c為正常數(shù)）；②當2≤x≤4時，f（x）=1-（x-3）²．若f（x）圖象上所有極大值對應的點均落在同一條直線上．則c=（　�。�

• A． 1或$\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{2}或2$
• C． 1或3
• D． 1或2

Answer 1

分析 由已知中定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：①f（2x）=cf（x）（c為正常數(shù)）；②當2≤x≤4時，f（x）=1-（x-3）²．我們可得分段函數(shù)f（x）的解析式，進而求出三個函數(shù)的極值點坐標，進而根據(jù)三點共線，則任取兩點確定的直線斜率相等，可以構(gòu)造關于c的方程，解方程可得答案．

解答 解：∵當2≤x≤4時，f（x）=1-（x-3）²．
當1≤x＜2時，2≤2x＜4，
則f（x）=$\frac{1}{c}$f（2x）=$\frac{1}{c}$[1-（2x-3）²]，
此時當x=$\frac{3}{2}$時，函數(shù)取極大值$\frac{1}{c}$；
當2≤x≤4時，f（x）=1-（x-3）²．
此時當x=3時，函數(shù)取極大值1；
當4＜x≤8時，2＜$\frac{x}{2}$≤4，
則f（x）=cf（$\frac{x}{2}$）=c[1-（$\frac{x}{2}$-3）²]，
此時當x=6時，函數(shù)取極大值c．
∵函數(shù)的所有極大值點均落在同一條直線上，
即點（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{c}$），（3，1），（6，c）共線，
∴$\frac{1-\frac{1}{c}}{\frac{3}{2}}$=$\frac{c-1}{3}$，
解得c=1或2．
故選：D．

點評 本題考查的知識點是三點共線，函數(shù)的極值，其中根據(jù)已知分析出分段函數(shù)f（x）的解析式，進而求出三個函數(shù)的極值點坐標，是解答本題的關鍵．