Question

20．在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，點E，F(xiàn)分別是邊CD，CB的中點，AC∩EF=O，沿EF將△CEF翻折到△PEF，連接PA，PB，PD，得到如圖的五棱錐，且$PB=\sqrt{10}$．
（1）求證：BD⊥平面POA；
（2）求二面角B-AP-O的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出BD∥EF，BD⊥AC，EF⊥AC，從而EF⊥AO，EF⊥PO，由此能證明BD⊥平面POA．
（2）設(shè)AO∩BD=H，連接BO，以O(shè)為原點，OF所在直線為x軸，AO所在直線y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，利用向量法能求出二面角B-AP-O的余弦值．

解答 證明：（1）∵點E，F(xiàn)分別為CD，CB的中點，∴BD∥EF，
∵菱形ABCD的對角線互相垂直，
∴BD⊥AC，∴EF⊥AC，∴EF⊥AO，EF⊥PO，
∵AO?平面POA，PO?平面POA，AO∩PO=O，
∴EF⊥平面POA，∴BD⊥平面POA．
解：（2）設(shè)AO∩BD=H，連接BO，∵∠DAB=60°，∴△ABD為等邊三角形，
∴$BD=4，BH=2，HA=2\sqrt{3}，HO=PO=\sqrt{3}$，
在Rt△BHO中，$BO=\sqrt{B{H^2}+H{O^2}}=\sqrt{7}$，
在△PBO中，BO²+PO²=10=PB²，∴PO⊥BO，
∵PO⊥EF，EF∩BO=O，EF?平面BFED，∴PO⊥平面BFED，
以O(shè)為原點，OF所在直線為x軸，AO所在直線y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，
則$A（{0，-3\sqrt{3}，0}），B（{2，-\sqrt{3}，0}），P（{0，0，\sqrt{3}}），H（{0，-\sqrt{3}，0}）$．
∴$\overrightarrow{AP}=（{0，3\sqrt{3}，\sqrt{3}}），\overrightarrow{AB}=（{2，2\sqrt{3}，0}）$，
設(shè)平面PAB的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=3\sqrt{3}y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=2x+2\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}，1，-3$），
∵BD⊥平面POA，AO∩BD=H，∴平面PAO的一個法向量為$\overrightarrow{BH}$=（-2，0，0），
設(shè)二面角B-AP-O的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BH}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{BH}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}×2}$=$\frac{\sqrt{39}}{13}$，
∴二面角B-AP-O的余弦值為$\frac{\sqrt{39}}{13}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．