Question

15．設(shè)P為橢圓 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上任一點，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的焦點，|PF₁|+|PF₂|=4，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線l：y=kx+m（≠0）與橢圓交于A、B兩點，若線段AB的中點C的直線y=$\frac{1}{2}$x上，O為坐標(biāo)原點．求△OAB的面積S的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，計算出a、b的值即可；
（2）聯(lián)立直線l與橢圓方程消去y得到一個關(guān)于x的一元二次方程，由韋達(dá)定理可得C（x_c、y_c），再將其代入所在直線y=$\frac{1}{2}$x上，可解得k=-1，故可化簡關(guān)于x的一元二次方程，從而得到關(guān)于S的表達(dá)式，再結(jié)合不等式即可得到最大值．

解答 解：（1）根據(jù)題意，可得2a=PF₁|+|PF₂|=4，所以a=2，
又c=ae=$2×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，所以b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{4-2}$=$\sqrt{2}$，
所以橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x_c，y_c），
將直線l：y=kx+m代入方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0            （*）
由韋達(dá)定理可知x_c=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{-2km}{1+2{k}^{2}}$，
從而y_c=kx_c+m=$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$，
又線段AB的中點C的直線y=$\frac{1}{2}$x上，
所以$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{1}{2}•$$\frac{-2km}{1+2{k}^{2}}$，解得k=-1，
則（*）變?yōu)?x²-4mx+2m²-4=0，
所以|AB|=$\sqrt{2}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\frac{4\sqrt{6-{m}^{2}}}{3}$，
則△OAB底邊AB的高h(yuǎn)=$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$，所以S=$\frac{\sqrt{2}}{3}•\sqrt{（6-{m}^{2}）{m}^{2}}$，
∵（6-m²）m²≤$[\frac{（6-{m}^{2}）+{m}^{2}}{2}]^{2}=9$，
∴S$≤\sqrt{2}$，即S得最大值為$\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓及其與直線的關(guān)系，利用韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．