Question

10．已知點(diǎn)A是拋物線x²=4y的對(duì)稱(chēng)軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)B為拋物線的焦點(diǎn)，P在拋物線上且滿足|PA|=m|PB|，當(dāng)m取最大值時(shí)，點(diǎn)P恰好在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$
• C． $\sqrt{2}$+1
• D． $\sqrt{5}$-1

Answer 1

分析 過(guò)P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則由拋物線的定義，結(jié)合|PA|=m|PB|，可得$\frac{1}{m}$=$\frac{|PN|}{|PA|}$，設(shè)PA的傾斜角為α，則當(dāng)m取得最大值時(shí)，sinα最小，此時(shí)直線PA與拋物線相切，求出P的坐標(biāo)，利用雙曲線的定義，即可得出結(jié)論．

解答 解：過(guò)P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，
則由拋物線的定義可得|PN|=|PB|，
∵|PA|=m|PB|，
∴|PA|=m|PN|
∴$\frac{1}{m}$=$\frac{|PN|}{|PA|}$
設(shè)PA的傾斜角為α，則sinα=$\frac{1}{m}$，
當(dāng)m取得最大值時(shí)，sinα最小，此時(shí)直線PA與拋物線相切，
設(shè)直線PM的方程為y=kx-1，代入x²=4y，可得x²=4（kx-1），
即x²-4kx+4=0，
∴△=16k²-16=0，
∴k=±1，
∴P（2，1），
∴雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為PA-PB=2（$\sqrt{2}$-1）
∴雙曲線的離心率為$\frac{2}{2（\sqrt{2}-1）}$=$\sqrt{2}$+1．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的性質(zhì)，考查雙曲線、拋物線的定義，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，當(dāng)m取得最大值時(shí)，sinα最小，此時(shí)直線PA與拋物線相切，是解題的關(guān)鍵．