【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)=0時(shí),求實(shí)數(shù)的m值及曲線在點(diǎn)(1, )處的切線方程;
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.
【答案】(1)m=﹣1,y=﹣1(2)見解析
【解析】試題分析:(1)求出,由的值可得切點(diǎn)坐標(biāo),求出的值,可得切線斜率,利用點(diǎn)斜式可得曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)求出,分四種情況討論的范圍,在定義域內(nèi),分別令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間, 求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間;
求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,分類討論的取值范圍,分別求得單調(diào)區(qū)間.
試題解析:(1)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)椋?/span>0,+∞),
求導(dǎo),
由f'(1)=0,解得m=﹣1
從而f(1)=﹣1,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=﹣1.
(2)由,
當(dāng)m≥0時(shí),函數(shù)y=f(x)的減區(qū)間為(0,),增區(qū)間為(,+∞)
當(dāng)m<0時(shí),由,得,或,
當(dāng)m<﹣2時(shí),y=f(x)的減區(qū)間為(0,﹣)和(,+∞)增區(qū)間為(﹣,);
當(dāng)m=﹣2時(shí),y=f(x)的減區(qū)間為(0,+∞)沒有增區(qū)間.
當(dāng)﹣2<m<0時(shí),y=f(x)的減區(qū)間為(0,)和(﹣,+∞),增區(qū)間為(,﹣)
綜上可知:當(dāng)m≥0時(shí),函數(shù)y=f(x)的減區(qū)間為(0,),增區(qū)間為(,+∞);
當(dāng)m<﹣2時(shí),y=f(x)的減區(qū)間為(0,﹣)和(,+∞)增區(qū)間為(﹣,);
當(dāng)m=﹣2時(shí),y=f(x)的減區(qū)間為(0,+∞)沒有增區(qū)間;
當(dāng)﹣2<m<0時(shí),y=f(x)的減區(qū)間為(0,)和(﹣,+∞),增區(qū)間為(,﹣).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f (x)=x-(a+1)ln x-(a∈R),g (x)=x2+ex-xex.
(1)當(dāng)x∈[1,e] 時(shí),求f (x)的最小值;
(2)當(dāng)a<1時(shí),若存在x1∈[e,e2],使得對任意的x2∈[-2,0],f (x1)<g (x2)恒成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最小值;
(2)若對任意的恒成立.試求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若時(shí),求函數(shù)在上的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C的對邊,S是該三角形的面積,且
(1)求角A的大小;
(2)若角A為銳角, ,求邊BC上的中線AD的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家,某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水,計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案,擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)(噸)、一位居民的月用水量不超過的部分按平價(jià)收費(fèi),超出的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況,通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求直方圖中a的值;
(Ⅱ)設(shè)該市有30萬居民,估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),并說明理由;
(Ⅲ)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)(噸),估計(jì)的值,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司發(fā)放員工的薪水有三種方式:①第一個(gè)月工資3000元,以后每月以1%的增長率增長;②第一個(gè)月工資2400元,以后每月以2%的增長率增長;③第一個(gè)月工資為3200元,每月漲工資30元.
(1)設(shè)第x個(gè)月的工資分別為元,試分別建立關(guān)于x的函數(shù);
(2)借助計(jì)算器計(jì)算這三種情況下各個(gè)月的工資;
(3)請分析這三種領(lǐng)薪方法的區(qū)別,作為員工選擇何種方法更合算?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題滿分15分)如圖,在半徑為的半圓形(O為圓心)鐵皮上截取一塊矩形材料ABCD,其中點(diǎn)A、B在直徑上,點(diǎn)C、D在圓周上,將所截得的矩形鐵皮ABCD卷成一個(gè)以AD為母線的圓柱形罐子的側(cè)面(不計(jì)剪裁和拼接損耗),記圓柱形罐子的體積為.
(1)按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式:
①設(shè),將表示為的函數(shù);
②設(shè)(),將表示為的函數(shù);
(2)請您選用(1)問中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系,求圓柱形罐子的最大體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下表提供了工廠技術(shù)改造后某種型號設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)y(萬元)的幾組對照數(shù)據(jù):
x(年) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y(萬元) | 1 | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)若知道y對x呈線性相關(guān)關(guān)系,請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程;
(2)已知該工廠技術(shù)改造前該型號設(shè)備使用10年的維修費(fèi)用為9萬元,試根據(jù)(1)求出的線性回歸方程,預(yù)測該型號設(shè)備技術(shù)改造后,使用10年的維修費(fèi)用能否比技術(shù)改造前降低?參考公式:,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有一個(gè)“引葭赴岸”問題:“今有池方一丈,葭生其中央.出水一尺,引葭赴岸,適與岸齊.問水深、葭長各幾何?”其意思為“今有水池1丈見方(即尺),蘆葦生長在水的中央,長出水面的部分為1尺.將蘆葦向池岸牽引,恰巧與水岸齊接(如圖所示).試問水深、蘆葦?shù)拈L度各是多少?假設(shè),現(xiàn)有下述四個(gè)結(jié)論:
①水深為12尺;②蘆葦長為15尺;③;④.
其中所有正確結(jié)論的編號是( )
A.①③B.①③④C.①④D.②③④
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