Question

15．已知數(shù)列{a_n}是首項a₁=4的等比數(shù)列，其前n項和為S_n，且S₃，S₂，S₄成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=log₂|a_n|（n≥1，n∈N），設(shè)T_n為數(shù)列{$\frac{1}{n（_{n}-1）}$}的前n項和，求證：T_n＜2．

Answer 1

分析 （1）利用已知結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，分q=1和q≠1兩種情況進行求解；
（2）先寫出b_n的表達式，進而求出$\frac{1}{n（_{n}-1）}$的表達式，觀察其結(jié)構(gòu)，可利用裂項法求出其前n項和T_n，最后利用放縮法即可證得數(shù)列不等式．

解答 （1）解：設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，又a₁=4，
若q=1，則S₃=12，S₂=8，S₄=16，
顯然S₃，S₂，S₄不成等差數(shù)列，與題設(shè)條件矛盾，∴q≠1，
由S₃，S₂，S₄成等差數(shù)列，得2（4+4q）=（4+4q+4q²）+（4+4q+4q²+4q³），
化簡得q²+q-2=0，∴q=-2，或q=1（舍去），
∴a_n=4（-2）^n-1=（-2）ⁿ⁺¹；
（2）b_n=log₂|a_n|=log₂|（-2）ⁿ⁺¹|=n+1，
當n≥2時，$\frac{1}{n（_{n}-1）}$=$\frac{1}{n（n+1-1）}=\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，
T_n＜$\frac{1}{{1}^{2}}+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$=$2-\frac{1}{n}＜2$．

點評 本題主要考查等比數(shù)列知識的應(yīng)用和數(shù)列求和的方法，也考查了不等式的知識，考查了學(xué)生的推理論證能力，是中檔題．