Question

4．已知橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$過點P（-2，1）作弦且弦被P平分，則此弦所在的直線方程為（　�。�

• A． 2x-y-3=0
• B． 2x-y-1=0
• C． x-2y-4=0
• D． x-2y+4=0

Answer 1

分析 判斷點P在橢圓內(nèi)，設(shè)弦的端點的坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），代入橢圓方程，運(yùn)用作差法，結(jié)合直線的斜率公式和斜率公式，可得斜率，再由點斜式方程即可得到所求直線方程．

解答 解：將P（-2，1）代入橢圓方程可得：$\frac{4}{16}$+$\frac{1}{4}$＜1，即點P在橢圓內(nèi)，
設(shè)弦的端點的坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
可得$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{16}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{16}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$=1，
相減可得$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{16}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{4}$=0，
則弦所在直線的斜率為$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4（{y}_{1}+{y}_{2}）}$，
由中點坐標(biāo)公式可得，x₁+x₂=-4，y₁+y₂=2，
可得斜率為-$\frac{-4}{4×2}$=$\frac{1}{2}$，
即有直線的方程為y-1=$\frac{1}{2}$（x+2），
即為x-2y+4=0．
故選：D．

點評 本題考查橢圓的方程的運(yùn)用，直線方程的求法，注意運(yùn)用點差法，以及中點坐標(biāo)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．