Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2-k}\\{y=3-2k}{\;}\end{array}\right.$（k為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系．圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ．
（Ⅰ）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A，B，若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，3）．求|MA|•|MB|的值．

Answer 1

分析 （I）將極坐標(biāo)方程兩邊同乘ρ，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系得出圓C的直角坐標(biāo)方程；
（II）求出直線l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，代入圓C的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出|MA|•|MB|的值．

解答 解：（Ⅰ）∵ρ=2sinθ，∴ρ²=2ρsinθ，∴x²+y²=2y．
∴圓C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-2y=0，即x²+（y-1）²=1．
（Ⅱ）直線l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\\ y=3+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得${（2+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t）^2}+{（2+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t）^2}=1$．
即${t^2}+\frac{{12\sqrt{5}}}{5}t+7=0$，
設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則t₁•t₂=7．
∴|MA|•|MB|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|=7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程的幾何意義，屬于中檔題．