Question

3．雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的一條漸近線與拋物線y=x²+2只有一個公共點，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 3
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 可設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線為y=$\frac{a}$x，由題意可得x²-$\frac{a}$x+2=0有兩個相等的實數(shù)解，運用判別式為0，可得b=2$\sqrt{2}$a，再由a，b，c的關(guān)系和離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：可設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線為y=$\frac{a}$x，
由漸近線與拋物線y=x²+2只有一個公共點，
可得x²-$\frac{a}$x+2=0有兩個相等的實數(shù)解，
即有△=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$-8=0，
即b=2$\sqrt{2}$a，可得c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=3a，
即有e=$\frac{c}{a}$=3．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用漸近線方程和直線與拋物線相切的條件：判別式為0，考查運算能力，屬于中檔題．