Question

18．平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F（2，0），以F為圓心，F(xiàn)O為半徑的圓與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)分別交于A，B（不同于O），當(dāng)|$\overrightarrow{AB}$|取最大值時(shí)雙曲線(xiàn)的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求得F為圓心，F(xiàn)O為半徑的圓的方程，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，代入圓的方程求得交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，及距離，運(yùn)用基本不等式即可得到a=b，進(jìn)而得到所求離心率．

解答 解：F為圓心，F(xiàn)O為半徑的圓的方程為（x-c）²+y²=c²，
雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±$\frac{a}$x，
代入圓的方程可得，（1+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$）x²=2cx，
解得x=$\frac{2c{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{2c{a}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{2{a}^{2}}{c}$，
即有A（$\frac{2{a}^{2}}{c}$，$\frac{2ab}{c}$），B（$\frac{2{a}^{2}}{c}$，-$\frac{2ab}{c}$），
|AB|=$\frac{4ab}{c}$=$\frac{4ab}{2}$=2ab≤a²+b²=c²=4，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\sqrt{2}$，取得等號(hào)．
則雙曲線(xiàn)的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程與圓的方程聯(lián)立求交點(diǎn)，運(yùn)用基本不等式求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．