Question

10．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+2{a}_{n}}$．
（1）求證：{$\frac{1}{{a}_{n}}$}為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)對(duì)a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+2{a}_{n}}$兩邊同時(shí)取倒數(shù)，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=2n，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+2{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1+2{a}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+2，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}}$=2，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以首項(xiàng)、公差均為2的等差數(shù)列；
（2）解：由（1）可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=2n，
∴a_n=$\frac{1}{2n}$，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\frac{1}{2n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．