Question

3．如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，AC=3，△ABC的面積等于$\frac{15\sqrt{3}}{4}$，D為邊長BC上一點．
（1）求BC的長；
（2）當(dāng)AD=$\frac{15}{8}$時，求cos∠CAD的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用余弦定理、三角形的面積公式先求得AB的值，可得BC的值．
（2）利用正弦定理求得sin∠ADC 的值，可得cos∠ADC 的值，再利用兩角和的余弦公式，求得cos∠CAD=-cos（C+∠ADC）的值．

解答 解：（1）在△ABC中，∠BAC=120°，AC=3，△ABC的面積等于$\frac{1}{2}$•AC•AB•sin∠BAC=$\frac{1}{2}$•3•AB•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$，
∴AB=5，再由余弦定理可得BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos∠BAC=25+9-2×5×3×（-$\frac{1}{2}$）=49，
∴BC=7．
（2）由題意可得cosC=$\frac{{CA}^{2}{+CB}^{2}{-AB}^{2}}{2CA•CB}$=$\frac{11}{14}$，sinC=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$．
D為邊長BC上一點，當(dāng)AD=$\frac{15}{8}$時，△ACD中，利用正弦定理可得$\frac{AD}{sinC}$=$\frac{AC}{sin∠ADC}$，即 $\frac{\frac{15}{8}}{\frac{5\sqrt{3}}{14}}$=$\frac{3}{sin∠ADC}$，
求得sin∠ADC=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，∴cos∠ADC=±$\sqrt{{1-sin}^{2}∠ADC}$=±$\frac{1}{7}$．
當(dāng) cos∠ADC=$\frac{1}{7}$，cos∠CAD=-cos（C+∠ADC）=-cosC•cos∠ADC+sinC•sin∠ADC
=-$\frac{11}{14}$•$\frac{1}{7}$+$\frac{5\sqrt{3}}{14}$•$\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$\frac{1}{2}$．
當(dāng) cos∠ADC=-$\frac{1}{7}$，cos∠CAD=-cos（C+∠ADC）=-cosC•cos∠ADC+sinC•sin∠ADC
=-$\frac{11}{14}$•（-$\frac{1}{7}$）+$\frac{5\sqrt{3}}{14}$•$\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$\frac{71}{98}$．

點評 本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用、三角形的面積公式，兩角和差的三角函數(shù)，屬于中檔題．