Question

12．某家居裝飾設(shè)計(jì)的形狀是如圖所示的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，其中，∠ACB=90°，BCC₁B₁是邊長為2（單位：米）的正方形，AC=1，點(diǎn)D為棱AA₁上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）現(xiàn)需要對(duì)該裝飾品的表面進(jìn)行涂漆處理，假設(shè)每平方米的油漆費(fèi)是40元，則需油漆費(fèi)多少元？（提示：$\sqrt{5}≈2.236$，結(jié)果保留到整數(shù)位）
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)D為何位置時(shí)，CD⊥平面B₁C₁D？

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AC⊥BC．AA₁⊥BC．然后證明BC⊥平面ACC₁A₁．求出直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面積，即可求解需油漆費(fèi)．
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)D為AA₁的中點(diǎn)時(shí)，CD⊥平面B₁C₁D．當(dāng)CD⊥C₁D時(shí)，有CD⊥平面B₁C₁D，求出AD，推出結(jié)果即可．

解答 （本題滿分12分）
解：（Ⅰ）因?yàn)锽CC₁B₁是邊長為2的正方形，所以BC=CC₁=AA₁=2．
因?yàn)椤螦CB=90°，所以AC⊥BC．
又易知AA₁⊥平面ABC，所以AA₁⊥BC．
又AC∩AA₁=A，所以BC⊥平面ACC₁A₁．
又AC=1，所以直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面積為${S_{ABC-{A_1}{B_1}{C_1}}}=\frac{1}{2}×2×1×2+2×2+1×2+\sqrt{{2^2}+{1^2}}×2=8+2\sqrt{5}$（平方米）．
則需油漆費(fèi)$（{8+2\sqrt{5}}）×40=320+80\sqrt{5}≈320+80×2.236≈499$（元）．…（6分）
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)D為AA₁的中點(diǎn)時(shí)，CD⊥平面B₁C₁D．證明如下：
由（Ⅰ）得BC⊥平面ACC₁A₁．
又BC∥B₁C₁，所以B₁C₁⊥平面ACC₁A₁．
所以B₁C₁⊥CD．
故當(dāng)CD⊥C₁D時(shí)，有CD⊥平面B₁C₁D，且此時(shí)有△C₁A₁D∽△DAC．
設(shè)AD=x，則$\frac{{{A_1}{C_1}}}{{{A_1}D}}=\frac{AD}{AC}$，即$\frac{1}{2-x}=\frac{x}{1}$，解得x=1．
此時(shí)$AD=1=\frac{1}{2}A{A_1}$，即當(dāng)點(diǎn)D為AA₁的中點(diǎn)時(shí)，CD⊥平面B₁C₁D．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直判斷的應(yīng)用，幾何體的表面積的求法，考查計(jì)算能力．