Question

16．若x，y為正實(shí)數(shù)，a=min|x，$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$|（min{x，y}表示x，y兩個(gè)數(shù)中的較小者），則a的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，此時(shí)x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，得出$\frac{y}{{x}^{2}{+y}^{2}}$≤$\frac{1}{2x}$，求出a的值，再通過(guò)比較求出a的最大值以及對(duì)應(yīng)的x與y的值．

解答 解：∵x，y為正實(shí)數(shù)，
∴$\frac{y}{{x}^{2}{+y}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{{x}^{2}}{y}+y}$≤$\frac{1}{2\sqrt{\frac{{x}^{2}}{y}•y}}$=$\frac{1}{2x}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)“=”成立；
當(dāng)x≥$\frac{1}{2x}$，即x≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，$\frac{1}{2x}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=min|x，$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$|=$\frac{y}{{x}^{2}{+y}^{2}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
當(dāng)0＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，a=min|x，$\frac{y}{{x}^{2}{+y}^{2}}$|＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴a的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，此時(shí)x=y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式比較大小問(wèn)題，關(guān)鍵在于利用基本不等式求得$\frac{y}{{x}^{2}{+y}^{2}}$≤$\frac{1}{2x}$，再求a的最大值，也考查了分析轉(zhuǎn)化與運(yùn)算的能力，屬于難題．