8．設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=a2=1，且an+2=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+an，n∈N，求a2011．

分析 由已知得{anan+1}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，從而anan+1=1+（n-1）=n，由此利用累乘法能求出a2011的值．

解答 解：∵數(shù)列{an}滿足：a1=a2=1，且an+2=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+an，n∈N，
∴an+2an+1-an+1an=1，a1a2=1，
∴{anan+1}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
anan+1=1+（n-1）=n，
${a}_{n}=\frac{n-1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n-2}•{a}_{n-2}$=$\frac{n-1}{n-2}×\frac{n-3}{n-4}×\frac{n-5}{n-6}×…×\frac{2}{1}×{a}_{1}$．
∴a2011=$\frac{2010}{2009}×\frac{2008}{2007}×\frac{2006}{2005}×…×\frac{2}{1}×1$
=56．

點評 本題考查數(shù)列的第2011項的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．

練習(xí)冊系列答案
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