Question

3．已知函數(shù)f（x）=sin（$\frac{π}{3}$+4x）+cos（4x-$\frac{π}{6}$）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求f（x）的最大值、最小值，及其取得最值時自變量的取值集合．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（4x+$\frac{π}{3}$），有三角函數(shù)的周期性及其求法可求周期，
（2）利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出單調(diào)區(qū)間，
（3）根據(jù)三角形函數(shù)的取值范圍，求出最值，以及自變量的取值集合．

解答 解：（1）f（x）=sin（$\frac{π}{3}$+4x）+cos（4x-$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{π}{3}$cos4x+cos$\frac{π}{3}$sin4x+cos4xcos$\frac{π}{6}$+sin4xsin$\frac{π}{6}$=$\sqrt{3}$cos4x+sin4x）=2sin（4x+$\frac{π}{3}$），
T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$，
∴f（x）的最小正周期為$\frac{π}{4}$，
（2）∵-$\frac{π}{2}$+2kπ≤4x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ≤4x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{5π}{24}$+$\frac{1}{2}$kπ≤x≤$\frac{π}{24}$+$\frac{1}{2}$kπ，$\frac{π}{24}$+$\frac{1}{2}$kπ≤x≤$\frac{7π}{24}$+$\frac{1}{2}$kπ，k∈Z，
∴f（x）在[-$\frac{5π}{24}$+$\frac{1}{2}$kπ，$\frac{π}{24}$+$\frac{1}{2}$kπ]為增函數(shù)，在[$\frac{π}{24}$+$\frac{1}{2}$kπ，$\frac{7π}{24}$+$\frac{1}{2}$kπ]，k∈Z，為減函數(shù)，
（3）當(dāng){x|4x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+2kπ}，即{x|x=$\frac{π}{24}$+$\frac{1}{2}$kπ，k∈Z}時，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為2，
當(dāng){x|4x+$\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{2}$+2kπ}，即{x|x=$\frac{7π}{24}$+$\frac{1}{2}$kπ，k∈Z}時，函數(shù)f（x）有最小值，最小值為-2．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．