Question

12．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）與直線x=±$\sqrt{2}$a分別交于A，B，C，D四點，且四邊形ABCD為正方形，則此雙曲線的離心率為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，（$\sqrt{2}$a，$\sqrt{2}$a）滿足方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，結(jié)合雙曲線的基本量的平方關系和離心率的定義，化簡整理即得該雙曲線的離心率．

解答 解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴對角線AC、BD所在直線是各象限的角平分線
因此，雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）與直線x=±$\sqrt{2}$a有四個交點
∴（$\sqrt{2}$a，$\sqrt{2}$a）滿足方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
∴2-$\frac{2{a}^{2}}{^{2}}$=1
∴b²=2a²，
∴c²=3a²，可得e=$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題給出雙曲線上四個點構(gòu)成以原點為中心的正方形，求它的離心率，著重考查了雙曲線的標準方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．