Question

13．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，PA=PB=AB=2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF=G，ED與AF相交于點(diǎn)H，則GH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 證明EH=DH，利用面AGF∥平面PEC，確定G是PD的中點(diǎn)，利用三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)，即可得出結(jié)論．

解答 解：因?yàn)锳BCD是平行四邊形，
所以AB∥CD，AB=CD．
因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，
所以AE=FD．又∠EAH=∠DFH，∠AEH=∠FDH，
所以△AEH≌△FDH，
所以EH=DH．
因?yàn)槠矫鍭GF∥平面PEC，
平面PED∩平面AGF=GH，
平面PED∩平面PEC=PE，
所以GH∥PE，所以G是PD的中點(diǎn)．
因?yàn)镻A=PB=AB=2，所以PE=2×sin60°=$\sqrt{3}$，
所以GH=$\frac{1}{2}$PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面平行的性質(zhì)，考查三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．