Question

5．已知圓C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosα\\ y=2+sinα\end{array}\right.（α$為參數(shù)）．
（Ⅰ）以直角坐標系的原點0為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，寫出圓C的極坐標方程；
（Ⅱ）若直線l的極坐標方程為$θ=\frac{π}{4}（{ρ∈R}）$，設(shè)直線l和圓C的交點為M，N，求△CMN的面積．

Answer 1

分析 （I）利用cos²α+sin²α=1可得普通方程，再利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$及其ρ²=x²+y²即可得出極坐標方程；
（Ⅱ）把$θ=\frac{π}{4}$代入ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0中，可得${ρ^2}-3\sqrt{2}ρ+4=0$，解得ρ，可得|MN|．由于圓C的半徑為1，故CM⊥CN，j即可得出△CMN的面積S=$\frac{1}{2}$|CM||CN|．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosα\\ y=2+sinα\end{array}\right.$，化為得（x-1）²+（y-2）²=1，
即x²+y²-2x-4y+4=0，
可得極坐標方程：ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0，
即圓C的極坐標方程是ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0．
（Ⅱ）把$θ=\frac{π}{4}$代入ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0中，可得${ρ^2}-3\sqrt{2}ρ+4=0$，
解得${ρ_1}=2\sqrt{2}，\;{ρ_2}=\sqrt{2}$，
∴$|{MN}|={ρ_1}-{ρ_2}=\sqrt{2}$
由于圓C的半徑為1，故CM⊥CN，
∴△CMN的面積為$\frac{1}{2}|{CM}|•|{CN}|=\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了極坐標化為直角坐標方程的方法、參數(shù)方程化為普通方程、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．