Question

8．在棱長(zhǎng)為a的正四面體A-BCD中，M是棱AB的中點(diǎn)，則CM與底面BCD所成的角的正弦值是$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 過A做BD的垂線，垂足為F，連接CF，過A做AO⊥BCD故M在平面BCD的投影也在CF上，設(shè)為O′，連接O′C，令正四面體的棱長(zhǎng)為a，通過解三角形求出即可．

解答 解：過A做BC的垂線，垂足為F，連接CF，易知CF⊥BC，故平面AFD⊥BCD，
過A做AO⊥BCD，O應(yīng)為BCD的中心，在CF上，因此AC投影在CF上．
故M在平面BCD的投影也在CF上，設(shè)為O′，連接O′C，知O′C⊥MO′，
如圖示：
因PO′∥AO，故$\frac{MO′}{AO}$=$\frac{DM}{DA}$=$\frac{1}{2}$，
令正四面體的棱長(zhǎng)為a
AF=CM=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，F(xiàn)O═$\frac{\sqrt{3}}{6}a$，AO=$\frac{\sqrt{6}}{3}a$，
∴MO′=$\frac{\sqrt{6}}{6}a$，∴sin∠PDO′=$\frac{MO′}{MC}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線和平面所成角的問題，考查解三角形問題，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．