Question

16．交通指數(shù)是擁堵的簡稱，是綜合反映道路網暢通或擁堵的概念，記為T．其范圍為[0，10]，分別有五個級別：T∈[0，2）暢通；T∈[2，4）基本暢通；T∈[4，6）輕度擁堵；T[6，8）中度擁堵；T∈[8，10）嚴重擁堵．在晚高峰時段（T≥2），從某市指揮中心選取了市區(qū)20個路段，依據其數(shù)據繪制的頻率分布直方圖如圖所示．
（Ⅰ）在這20個路段中，隨機選取了兩個路段，求這兩個路段至少有一個未出現(xiàn)嚴重擁堵的概率；
（Ⅱ）從這20個路段中隨機抽取3個路段，用X表示抽取的中度擁堵的路段的個數(shù)，求X的分布列及期望．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖可知底×高=頻率，頻率×20為路段個數(shù)，求得嚴重擁堵的路段個數(shù)，運用古典概率計算即可得到；
（2）由題意知X為0，1，2，3，求出相應的概率，由此求出X的分布列及期望

解答 解：（Ⅰ）設事件A“一個路段嚴重擁堵”，則P（A）=0.10+0.05=0.15，
則20個路段中出現(xiàn)嚴重擁堵的路段有0.15×20=3，概率計算
記事件B“這兩個路段至少有一個未出現(xiàn)嚴重擁堵”，
則P（$\overline{B}$）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{3}{190}$，
即有P（B）=1-P（$\overline{B}$）=1-$\frac{3}{190}$=$\frac{187}{190}$；
這兩個路段至少有一個未出現(xiàn)嚴重擁堵的概率為$\frac{187}{190}$；
（2）X的可能取值為0，1，2，3．
P（X=0）=$\frac{{C}_{11}^{3}{•C}_{9}^{0}}{{C}_{20}^{3}}$=$\frac{11}{76}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{11}^{2}{•C}_{9}^{1}}{{C}_{20}^{3}}$=$\frac{33}{76}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{11}^{1}{•C}_{9}^{2}}{{C}_{20}^{3}}$=$\frac{33}{95}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{11}^{0}{•C}_{9}^{3}}{{C}_{20}^{3}}$=$\frac{7}{95}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{11}{76}$	$\frac{33}{76}$	$\frac{33}{95}$	$\frac{7}{95}$

∴EX=0×$\frac{11}{76}$+1×$\frac{33}{76}$+2×$\frac{33}{95}$+3×$\frac{7}{95}$=$\frac{513}{380}$．

點評 本題以實際問題為素材，考查離散型隨機變量的概率及期望，關鍵是正確運用公式．屬于中檔題．