Question

2．已知函數(shù)f（x）=1+$\frac{2}{x}$，數(shù)列{x_n}滿足x₁=$\frac{11}{7}$，x_n+1=f（x_n），若b_n=$\frac{1}{{x}_{n}-2}$+$\frac{1}{3}$
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）先由f（x）的式子給出x_n+1的表達式，然后由b_n的式子給出b_n+1的表達式，再用等比數(shù)列的定義即可證明；
（2）由等比數(shù)列的通項公式給出b_n的表達式．

解答 解：∵f（x）=1+$\frac{2}{x}$，數(shù)列{x_n}滿足x₁=$\frac{11}{7}$，x_n+1=f（x_n），
∴x_n+1=1+$\frac{2}{{x}_{n}}$=$\frac{{x}_{n}+2}{{x}_{n}}$，
∵b_n=$\frac{1}{{x}_{n}-2}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{{x}_{n}+1}{3（{x}_{n}-2）}$
∴b_n+1=$\frac{1}{{x}_{n+1}-2}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{1+\frac{2}{{x}_{n}}-2}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{\frac{2}{{x}_{n}}-1}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{2（{x}_{n}+1）}{3（2-{x}_{n}）}$，
∴$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=-2，
∴{b_n}是等比數(shù)列，
（2）∵x₁=$\frac{11}{7}$，b_n=$\frac{1}{{x}_{n}-2}$+$\frac{1}{3}$，
∴b₁=$\frac{1}{\frac{11}{7}-2}$+$\frac{1}{3}$=-2，
由（1）可知公比q=-2，
∴b_n=（-2）ⁿ．

點評 本題考查了函數(shù)和數(shù)列的關(guān)系，抓住函數(shù)的表達式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．