Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是一個(gè)直角梯形，其中，，平面，，，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別為和的中點(diǎn).

（1）證明：直線平面；

（2）求直線和平面所成角的余弦值；

（3）求二面角的正弦值；

（4）求點(diǎn)P到平面的距離；

（5）設(shè)點(diǎn)N在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)H，求線段的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）；（4）；（5）

【解析】

（1）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法，證明與平面的法向量垂直，從而證明直線平面．

（2）求出平面的法向量，利用向量法，求出直線和平面所成角的余弦值．

（3）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法，求出二面角的正弦值．

（4）求出的坐標(biāo)，再求出平面的法向量，利用向量法，求出點(diǎn)到平面的距離；

（5）設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，從而表示出的坐標(biāo)，求出到平面的距離，列出方程組，求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出的長(zhǎng)度.

（1）四棱錐，底面是一個(gè)直角梯形，，平面，

所以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

，，，，，

，，，

設(shè)平面的法向量，

所以，，

取，則，

所以，平面，

所以直線平面.

（2），，，

設(shè)平面的法向量，

則，即，

取，則，

設(shè)直線與平面所成的角為，

則，

所以，

所以直線與平面所成角的余弦值為.

（3）設(shè)平面的法向量為，

則，即，

取，得，

平面的法向量，

設(shè)二面角的平面角為，

則，

所以，

所以二面角的正弦值為.

（4），平面的法向量，

所以點(diǎn)到平面的距離為

.

（5）設(shè)點(diǎn)在平面的射影為點(diǎn)，

則，

所以點(diǎn)到平面的距離為，

根據(jù)，得

解得，，，或者，，（舍）

所以.