Question

18．△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且（$\overrightarrow{AB}$）²=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$．
（Ⅰ）判斷△ABC的形狀；
（Ⅱ）若不等式a²（b+c）+b²（c+a）+c²（a+b）≥kabc對(duì)任意的滿足題意的a，b，c都成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）（$\overrightarrow{AB}$）²=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$．可得c²=bccosA+accosb+abcosc，利用余弦定理化簡(jiǎn)即可判斷出結(jié)論．
（Ⅱ）在直角△ABC中，a=csinA，b=ccosA．由a²（b+c）+b²（c+a）+c²（a+b）≥kabc，對(duì)任意的滿足題意的a、b、c都成立，則$\frac{{a}^{2}（b+c）+^{2}（c+a）+{c}^{2}（a+b）}{abc}$≥k，對(duì)任意的滿足題意的a、b、c都成立，利用正弦定理化為：$\frac{{a}^{2}（b+c）+^{2}（c+a）+{c}^{2}（a+b）}{abc}$=cosA+sinA+$\frac{1+cosA+sinA}{sinAcosA}$，令t=sinA+cosA，t∈$（1，\sqrt{2}]$，設(shè)f（t）=$\frac{{a}^{2}（b+c）+^{2}（c+a）+{c}^{2}（a+b）}{abc}$=t+$\frac{1+t}{\frac{{t}^{2}-1}{2}}$，變形利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵（$\overrightarrow{AB}$）²=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$．
∴c²=bccosA+accosb+abcosc，
由余弦定理知：c²=bccosA+accosb+abcosc=$\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2}$+$\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2}$+$\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2}$=$\frac{{{a^2}+{b^2}+{c^2}}}{2}$
從而a²+b²=c²，∴△ABC 是以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形．
（Ⅱ）在直角△ABC中，a=csinA，b=ccosA．
若a²（b+c）+b²（c+a）+c²（a+b）≥kabc，對(duì)任意的滿足題意的a、b、c都成立，
則$\frac{{a}^{2}（b+c）+^{2}（c+a）+{c}^{2}（a+b）}{abc}$≥k，對(duì)任意的滿足題意的a、b、c都成立，
∵$\frac{{a}^{2}（b+c）+^{2}（c+a）+{c}^{2}（a+b）}{abc}$≥k，
=$\frac{1}{{c}^{3}sinAcosA}$[c²sin²A（ccosA+c）+c²cos²A（csinA+c）+c²（csinA+ccosA）]
=$\frac{1}{sinAcosA}$[sin²AcosA+cos²A sinA+1+cosA+sinA]=cosA+sinA+$\frac{1+cosA+sinA}{sinAcosA}$
令t=sinA+cosA，t∈$（1，\sqrt{2}]$，
設(shè)f（t）=$\frac{{a}^{2}（b+c）+^{2}（c+a）+{c}^{2}（a+b）}{abc}$=t+$\frac{1+t}{\frac{{t}^{2}-1}{2}}$=t+$\frac{2}{t-1}$=t-1+$\frac{2}{t-1}$+1．
f（t）=t-1+$\frac{2}{t-1}$+1，當(dāng)t-1∈$（0，\sqrt{2}-1]$時(shí)f（t）為單調(diào)遞減函數(shù)，
∴當(dāng)t=$\sqrt{2}$時(shí)取得最小值，最小值為2+3$\sqrt{2}$，即k≤2+3$\sqrt{2}$．
∴k的取值范圍為（-∞，2+3$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．