Question

11．在直平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AC∩BD=O，AB=AA₁=1．
（Ⅰ）求證：OC₁∥平面AB₁D₁
（Ⅱ）求證：平面AB₁D₁⊥平面ACC₁A₁
（Ⅲ）求三棱錐A₁-AB₁D₁的體積．

Answer 1

分析 （I）由直平行六面體的結構特征可知AO₁$\stackrel{∥}{=}$OC₁，于是OC₁∥平面AB₁D₁；
（II）由線面垂直的性質得AA₁⊥B₁D₁，由菱形的性質得A₁C₁⊥B₁D₁，故而B₁D₁⊥平面ACC₁A₁，于是平面AB₁D₁⊥平面ACC₁A₁；
（III）以△A₁B₁D₁為棱錐的底面，AA₁為棱錐的高，代入棱錐的體積公式計算即可．

解答 證明：（ I）設A₁C₁∩B₁D₁=O₁，連接AO₁．
因為AA₁∥CC₁且AA₁=CC₁
所以四邊形AA₁C₁C是平行四邊形．
所以A₁C₁∥AC且A₁C₁=AC．
因為底面ABCD是菱形，
所以O₁C₁∥AO且O₁C₁=AO．
所以四邊形AOC₁O₁是平行四邊形．
所以AO₁∥OC₁．
因為AO₁?平面AB₁D₁，OC₁?平面AB₁D₁
所以OC₁∥平面AB₁D₁．
（ II）因為AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，B₁D₁?平面A₁B₁C₁D₁，
所以B₁D₁⊥AA₁．
因為底面ABCD是菱形，
所以B₁D₁⊥A₁C₁，又因為AA₁∩A₁C₁=A₁，
所以B₁D₁⊥平面ACC₁A₁．因為B₁D₁?平面AB₁D₁，
所以平面AB₁D₁⊥平面ACC₁A₁．
（ III）由題意可知，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
所以AA₁為三棱錐A-A₁B₁D₁的高．
因為${V_{{A_1}-A{B_1}{D_1}}}={V_{A-{A_1}{B_1}{D_1}}}=\frac{1}{3}{S_{△{A_1}{B_1}{D_1}}}•A{A_1}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{{\sqrt{3}}}{2}×1=\frac{{\sqrt{3}}}{12}$．
所以三棱錐A₁-AB₁D₁的體積為$\frac{\sqrt{3}}{12}$．

點評 本題考查了線面平行，面面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．