11.在直平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,AC∩BD=O,AB=AA1=1.
(Ⅰ)求證:OC1∥平面AB1D1
(Ⅱ)求證:平面AB1D1⊥平面ACC1A1
(Ⅲ)求三棱錐A1-AB1D1的體積.

分析 (I)由直平行六面體的結構特征可知AO1$\stackrel{∥}{=}$OC1,于是OC1∥平面AB1D1;
(II)由線面垂直的性質得AA1⊥B1D1,由菱形的性質得A1C1⊥B1D1,故而B1D1⊥平面ACC1A1,于是平面AB1D1⊥平面ACC1A1;
(III)以△A1B1D1為棱錐的底面,AA1為棱錐的高,代入棱錐的體積公式計算即可.

解答 證明:( I)設A1C1∩B1D1=O1,連接AO1
因為AA1∥CC1且AA1=CC1
所以四邊形AA1C1C是平行四邊形.
所以A1C1∥AC且A1C1=AC.
因為底面ABCD是菱形,
所以O1C1∥AO且O1C1=AO.
所以四邊形AOC1O1是平行四邊形.
所以AO1∥OC1
因為AO1?平面AB1D1,OC1?平面AB1D1
所以OC1∥平面AB1D1
( II)因為AA1⊥平面A1B1C1D1,B1D1?平面A1B1C1D1,
所以B1D1⊥AA1
因為底面ABCD是菱形,
所以B1D1⊥A1C1,又因為AA1∩A1C1=A1,
所以B1D1⊥平面ACC1A1.因為B1D1?平面AB1D1,
所以平面AB1D1⊥平面ACC1A1
( III)由題意可知,AA1⊥平面A1B1C1D1,
所以AA1為三棱錐A-A1B1D1的高.
因為${V_{{A_1}-A{B_1}{D_1}}}={V_{A-{A_1}{B_1}{D_1}}}=\frac{1}{3}{S_{△{A_1}{B_1}{D_1}}}•A{A_1}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{{\sqrt{3}}}{2}×1=\frac{{\sqrt{3}}}{12}$.
所以三棱錐A1-AB1D1的體積為$\frac{\sqrt{3}}{12}$.

點評 本題考查了線面平行,面面垂直的判定,棱錐的體積計算,屬于中檔題.

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