Question

15．已知函數(shù)$f（x）=\frac{lnx}{1+x}-lnx$在x=x₀處取得最大值，給出下列5個式子：
①f（x₀）＜x₀，②f（x₀）=x₀，③f（x₀）＞x₀，④$f（{x_0}）＜\frac{1}{2}$，⑤$f（{x_0}）＞\frac{1}{2}$．則其中正確式子的序號為（　�。�

• A． ①和④
• B． ②和④
• C． ②和⑤
• D． ③和⑤

Answer 1

分析 求函數(shù)的定義域和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)單調(diào)性和極值，利用極值、最值的關(guān)系確定f（x₀）的值，進(jìn)行判斷即可．

解答 解：函數(shù)的定義域為（0，+∞），f（x）=（-$\frac{x}{x+1}$）lnx，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=（-$\frac{x}{x+1}$）′lnx-$\frac{x}{x+1}$•$\frac{1}{x}$=$\frac{-lnx-x-1}{（x+1）^{2}}$，
設(shè)h（x）=-lnx-x-1，
則h′（x）=$\frac{-1-x}{x}$，則當(dāng)x＞0時，h′（x）＜0，即h（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
∵h(yuǎn)（1）＜-1-1=-2＜0，當(dāng)x→0時，h（x）＞0，
∴在（0，1）內(nèi)函數(shù)h（x）有唯一的零點(diǎn)x₀，即h（x₀）=-lnx₀-x₀-1=0，
即lnx₀=-1-x₀，
當(dāng)0＜x＜x₀，f′（x）＞0，當(dāng)x＞x₀，f′（x）＜0，即函數(shù)f（x）在x=x₀處取得最大值，
即f（x₀）=（-$\frac{{x}_{0}}{{x}_{0}+1}$）•lnx₀=（-$\frac{{x}_{0}}{{x}_{0}+1}$）•（-1-x₀）=x₀，②正確；
∵h(yuǎn)（$\frac{1}{2}$）=-ln$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}-1$=ln2-$\frac{3}{2}$＜0，
∴0＜x₀＜$\frac{1}{2}$，∴$f（{x_0}）＜\frac{1}{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查命題的真假判斷涉及函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．