Question

10．已知CD是圓上的一條弦，延長(zhǎng)CD與B點(diǎn)使得CD=BD，過D作BC的中垂線在中垂線上找到一點(diǎn)A使得AB⊥AC，連接AC交圓與H點(diǎn)連接BH，分別交AD與F點(diǎn)，交圓與G點(diǎn)，連接DG．求證：四邊形ABDG有外接圓．

Answer 1

分析 先由割線定理得BD•BC=BG•BH，再由圖中的等量關(guān)系，得BD•BC=2BD²=AB²=BG•BH，證明△BAH∽△BGA，從而得出∠AGB=∠HAB=90°，即AG⊥GB，再由DB⊥AD，即可得證．

解答 證明：如圖所示，由割線定理，得BD•BC=BG•BH，
∵CD=BD=AD，DA⊥BC，
∴AC=AB=$\sqrt{2}$BD，∠BAD=∠CAD=45°，
∴△CBA是等腰直角三角形，即∠CAB=90°，
∴BD•BC=2BD²=AB²=BG•BH，即$\frac{AB}{BG}$=$\frac{BH}{AB}$，
又∵∠ABG=∠ABH，∴△BAH∽△BGA，
∴∠AGB=∠HAB=90°，即AG⊥GB．
又DB⊥AD，
可得四邊形ABDG有外接圓．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓中的垂直關(guān)系、割線定理、三角形相似等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力．