Question

2．已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且各項均不為0，T_n為其前n項和，T_2n-1=a_n²，n∈N₊，若不等式$\frac{{4×{{（{-1}）}^n}}}{n}+1≥\frac{{t{{（{-1}）}^{n+1}}}}{{{a_{n+1}}}}$對任意的正整數(shù)n恒成立，則t的取值集合為{-15，-9}．

Answer 1

分析 由數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，T_2n-1=a_n²，求得前幾項，可得公差，即可得到通項公式，再對n討論奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，運用參數(shù)分離和數(shù)列的單調(diào)性，求得最小值，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：∵a_n²=T_2n-1，
∴a₁²=T₁=a₁，
又∵a_n≠0，∴a₁=1，
又∵a₂²=T₃=3a₂，
∴a₂=3或a₂=0（舍），
∴數(shù)列{a_n}的公差d=a₂-a₁=3-1=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
當n為偶數(shù)時，不等式$\frac{{4×{{（{-1}）}^n}}}{n}+1≥\frac{{t{{（{-1}）}^{n+1}}}}{{{a_{n+1}}}}$即為
$\frac{4}{n}$+1≥$\frac{-t}{2n+1}$，即有-t≤（2n+1）（1+$\frac{4}{n}$）=9+2n+$\frac{4}{n}$，
由2n+$\frac{4}{n}$在n≥2遞增，即有n=2時取得最小值，且為6，
則-t≤15，解得t≥-15；
當n為奇數(shù)時，不等式$\frac{{4×{{（{-1}）}^n}}}{n}+1≥\frac{{t{{（{-1}）}^{n+1}}}}{{{a_{n+1}}}}$即為
-$\frac{4}{n}$+1≥$\frac{t}{2n+1}$，即有t≤（2n+1）（1-$\frac{4}{n}$）=-7+2n-$\frac{4}{n}$，
由2n-$\frac{4}{n}$在n≥1遞增，即有n=1時取得最小值，且為-9，
則t≤-9．
綜上可得t的范圍是[-15，-9]．
故答案為：[-15，-9]．

點評 本題考查數(shù)列的通項的求法，注意運用等差數(shù)列的通項公式，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用分類討論的思想方法，以及數(shù)列的單調(diào)性，屬于中檔題．