16．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{3}+2{x}^{2}-x，0＜x＜1}\\{lnx，x≥1}\end{array}\right.$，對任意t∈（0，+∞），不等式f（t）＜kt恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是$（\frac{1}{e}，+∞）$．

分析 結合函數(shù)的圖象和函數(shù)值，可判斷只需y=lnt在y=kt的下方，求出臨界值即相切時的k的值即可．

解答 解：當0＜x＜1時，f（x）＜0，
當x≥1時，f（x）≥0，
對任意t∈（0，+∞），不等式f（t）＜kt恒成立，
故函數(shù)y=f（t）在函數(shù)y=kt的下方，
∴只需y=lnt在y=kt的下方，
∴當兩曲線相切時，設切點為橫坐標為t0，
∴k=$\frac{1}{{t}_{0}}$，lnt0=$\frac{1}{{t}_{0}}$t0，
t0=$\frac{1}{e}$，
∴實數(shù)k的取值范圍是$（\frac{1}{e}，+∞）$．

點評 考查了分段函數(shù)的圖象和利用圖象解決恒成立問題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

12．將點的直角坐標（-$\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$，2）化為柱坐標為（2$\sqrt{3}$，$\frac{3π}{4}$，2），化為球坐標為（4，$\frac{π}{3}$，$\frac{3π}{4}$）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

13．若函數(shù)f（x）=$\sqrt{1+2sinx}$，則f（x）的單調遞增區(qū)間是[2kπ-$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

4．函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{1+x}$-1）lnx的極值點為x=x0，記e≈2.71828，給出下列4個式子的序號：
①f（x0）＜x0； 
②f（x0）＞x0；
③ef（x0）＜1；
 ④e2f（x0）＞1，
其中，正確的序號是（　　）
A．①③B．②④C．③D．③④

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

11．雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的兩個頂點三等分焦距，則雙曲線的離心率為（　　）
A．4B．3C．2D．1

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

1．口袋中有質地、大小完全相同的5個球，編號分別為1，2，3，4，5，甲、乙兩人玩一種游戲，甲先摸出一個球，記下編號，放回后乙再摸一個球，記下編號，如果兩個編號的和為偶數(shù)算甲贏，否則算乙贏．
（Ⅰ）求編號和為6的事件發(fā)生的概率；
（Ⅱ）這種游戲規(guī)則公平嗎？試說明理由；
（Ⅲ）如果甲摸出球后不放回，則游戲對誰有利？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

8．在平面直角坐標系xOy中，已知點Q（1，2），P是動點，且三角形POQ的三邊所在直線的斜率滿足$\frac{1}{{k}_{OP}}$+$\frac{1}{{k}_{OQ}}$=$\frac{1}{{k}_{PQ}}$．
（1）求點P的軌跡C的方程；
（2）過點D（1，0）任作兩條互相垂直的直線l1，l2，分別交軌跡C于點A，B和M，N，設線段AB，MN的中點分別為E，F(xiàn)求證：直線EF恒過一定點．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

5．拋物線y 2=4x上一點M到焦點的距離為3，則點M的橫坐標x=2．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

6．拋物線y2=4x上的點P到拋物線的準線的距離為d1，到直線3x-4y+9=0的距離為d2，則d1+d2的最小值為（　�。�
A．$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$B．$\frac{6}{5}$C．2D．$\frac{12}{5}$

查看答案和解析>>

同步練習冊答案