Question

4．函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{1+x}$-1）lnx的極值點(diǎn)為x=x₀，記e≈2.71828，給出下列4個(gè)式子的序號(hào)：
①f（x₀）＜x₀； 
②f（x₀）＞x₀；
③ef（x₀）＜1；
 ④e²f（x₀）＞1，
其中，正確的序號(hào)是（　�。�

• A． ①③
• B． ②④
• C． ③
• D． ③④

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)極值點(diǎn)滿足條件，進(jìn)行推理判斷即可．

解答 解：f（x）=（$\frac{1}{1+x}$-1）lnx=$\frac{-xlnx}{1+x}$，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=-$\frac{x+lnx+1}{（1+x）^{2}}$，
若f（x）=（$\frac{1}{1+x}$-1）lnx的極值點(diǎn)為x=x₀，
則f′（x₀）=-$\frac{{x}_{0}+ln{x}_{0}+1}{（1+{x}_{0}）^{2}}$=0，
即x₀+lnx₀+1=0，則lnx₀=-1-x₀，
∵f′（1）=-$\frac{2}{（1+1）^{2}}$＜0，當(dāng)x→0時(shí)，f′（x）→+∞，
∴在（0，1）上函數(shù)f′（x）存在零點(diǎn)，
即0＜x₀＜1，
①f（x₀）=$\frac{-{x}_{0}ln{x}_{0}}{1+{x}_{0}}$=$\frac{-{x}_{0}（-1-{x}_{0}）}{1+{x}_{0}}$=$\frac{{x}_{0}（1+{x}_{0}）}{1+{x}_{0}}$=x₀；∴f（x₀）＜x₀錯(cuò)誤，f（x₀）＞x₀；錯(cuò)誤；
③∵lnx₀=-1-x₀，∴x₀=e^-1-x₀，
ef（x₀）=e•x₀=e•e^-1-x₀=e^-x₀＜1，故③正確，
 ④e²f（x₀）=e²x₀=e²•e^-1-x₀=e^1-x₀，
∵0＜x₀＜1，∴-1＜-x₀＜0，∴0＜1-x₀＜1，
則e^1-x₀＞1，故e²f（x₀）＞1成立，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)結(jié)合不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，有一定的難度．