Question

5．在平面直角坐標系中，橫坐標和縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點，對任意自然數(shù)n，連接原點O與點A_n（n，n+5），若用f（n）表示線段OA_n上除端點外的整點個數(shù)，則f（1）+f（2）+…+f（2011）=1608．

Answer 1

分析 因為線段OA_n斜率k=$\frac{n+5}{n}$=1+$\frac{5}{n}$，所在直線方程為y=x+$\frac{5}{n}$x，所以n為5的倍數(shù)，才能找出比n小的整數(shù)x，使得y也為整數(shù)．由此入手能夠求出f（1）+f（2）+…+f（2011）的值．

解答 解：∵線段OA_n斜率k=$\frac{n+5}{n}$=1+$\frac{5}{n}$，
所在直線方程為y=x+$\frac{5}{n}$x，
∴n為5的倍數(shù)，才能找出比n小的整數(shù)x，使得y也為整數(shù)．
∴當n=5，10，15，20，…，2010時，線段OA_n上有除端點外的4個整點．
數(shù)列5，10，15，20，…，2010是首項為5，公差為5的等差數(shù)列，其通項公式為a_m=5m．
由5m=2010知m=402，
∴f（1）+f（2）+…+f（2010）=4×402=1608，
故答案為：1608

點評 本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認真審題，挖掘題設(shè)條件中的隱含條件．