【題目】已知兩圓,的圓心分別為c1,c2,,P為一個動點,且.

(1)求動點P的軌跡方程;

(2)是否存在過點A(2,0)的直線l與軌跡M交于不同的兩點C,D,使得C1C=C1D?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)(2)不存在滿足題意的直線l,使得C1C=C1D.

【解析】

試題分析:(1)寫出兩圓的圓心坐標(biāo),根據(jù)||+||= >2=| |可知動點P的軌跡是以為焦點、長軸長為2a= 的橢圓,從而易求橢圓方程即所求軌跡方程;(2)當(dāng)斜率不存在時容易判斷,當(dāng)存在斜率時,設(shè)直線l的方程為y=k(x-2),聯(lián)立直線l方程與橢圓方程消掉y得x的二次方程,則有>0,設(shè)交點C ,D ,CD的中點為N ,求出二次方程的兩解,從而可得線段CD中點N的橫坐標(biāo),代入直線方程可得縱坐標(biāo),要使C1C=C1D,必須有l,即,解出方程的解k,再檢驗是否滿足>0即可

試題解析:(1)兩圓的圓心坐標(biāo)分別為C1(1,0),C2(-1,0).

因為,

所以根據(jù)橢圓的定義可知,動點P的軌跡為以原點為中心、C1C2為焦點、長軸長為的橢圓,且,c=1,

所以橢圓的方程為,即動點P的軌跡M的方程為.

(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時,易知點A(2,0)在橢圓M的外部,直線l與橢圓M無交點,此時直線l不存在.

故直線l的斜率存在,設(shè)為k,則直線l的方程為

依題意,有,解得

當(dāng)時,設(shè)交點C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中點為N(x0,y0),則,所以.

要使C1C=C1D必須C1Nl,即,所以,

即-1=0,矛盾.

所以不存在直線l,使得C1C=C1D.

綜上所述,不存在滿足題意的直線l,使得C1C=C1D.

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