Question

8．已知f（x）=x²-a|x-1|-1，a∈R．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并用定義證明；
（2）若f（x）≥0對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，求a的取值范圍；
（3）寫出f（x）在[-2，2]上的最大值g（a）．（不需要解答過程）

Answer 1

分析 （1）驗(yàn)證f（-x）=f（x）即可；
（2）f（x）≥0對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，則x²-a（x-1）-1≥0對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，分類討論，即可求a的取值范圍；
（3）分類討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，即可寫出f（x）在[-2，2]上的最大值g（a）．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x²-1，
∵f（-x）=（-x）²-1=x²-1=f（x），
∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（2）f（x）≥0對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，則x²-a（x-1）-1≥0對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，
x=1時(shí)，成立；
x≠1時(shí)，a≤x+1對(duì)x∈（1，+∞）恒成立，∴a≤2，
∴f（x）≥0對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，a≤2；
（3）-2≤x≤1時(shí)，f（x）=x²⁺ax-a-1
a≤-1時(shí)，g（a）=f（1）=0，a＞-1時(shí)，g（a）=f（-2）=3+3a；
1＜x≤2時(shí)，f（x）=x²+ax-a-1
a≥-3時(shí)，g（a）=f（1）=0，a≤-3時(shí)，g（a）=f（-2）=3+3a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．