Question

13．已知數(shù)列{a_n}中a_n≠0，若a₁=2，2a_n+1•a_n=n（a_n-a_n+1）+a_n，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=$\frac{2n}{4n-3}$．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)2a_n+1•a_n=n（a_n-a_n+1）+a_n可得$\frac{n+1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{n}{{a}_{n}}$-2=0，從而可得{$\frac{n}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，從而解得．

解答 解：∵2a_n+1•a_n=n（a_n-a_n+1）+a_n，
∴2a_n+1•a_n=（n+1）a_n-na_n+1，
即（n+1）a_n-na_n+1-2a_n+1•a_n=0，
又∵a_n≠0，
∴$\frac{n+1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{n}{{a}_{n}}$-2=0，而$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$；
∴{$\frac{n}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+2（n-1）=2n-$\frac{3}{2}$，
∴a_n=$\frac{n}{2n-\frac{3}{2}}$=$\frac{2n}{4n-3}$，
故答案為：a_n=$\frac{2n}{4n-3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了學(xué)生的化簡(jiǎn)運(yùn)算能力及等差數(shù)列的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了整體思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用及構(gòu)造法的應(yīng)用．