Question

13．設(shè)拋物線y²=4x焦點(diǎn)F，經(jīng)過點(diǎn)P（4，1）的直線l與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P恰好為線段AB的中點(diǎn)，則|AF|+|BF|=10．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由拋物線的定義，得|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1．又根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得x₁+x₂=8，代入前式即可得到|AF|+|BF|的值．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
作出拋物線的準(zhǔn)線：x=-1，過A、B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為C、D，
根據(jù)拋物線的定義，得
|AF|=|AC|=x₁+1，|BF|=|BD|=x₂+1，故|AF|+|BF|=（x₁+x₂）+2
∵AB中點(diǎn)為P（4，1），
∴$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=4，可得x₁+x₂=8
∴|AF|+|BF|=（x₁+x₂）+2=10
故答案為：10．

點(diǎn)評(píng) 本題給出拋物線的弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，求A、B兩點(diǎn)到焦點(diǎn)距離之和，著重考查了拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．