已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)P（
3
2
，1），離心率e=
3
2
，直線l與橢圓交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，向量
m
=（ax1，by1），
n
=（ax2，by2），且
m
⊥
n
．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）當(dāng)直線l過橢圓的焦點(diǎn)F（0，c）（c為半焦距）時(shí)，求直線l的斜率k．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）由已知條件得
e=
c
a
=
a2-b2
a
=
3
2
1
a2
+
3
4b2
=1
，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)l的方程為y=kx+
3
，由
y=kx+
3
y2
4
+x2=1
⇒(k2+4)x2+2
3
kx-1=0，由此利用韋達(dá)定理、向量垂直結(jié)合已知條件能求出直線l的斜率k．
解答： 解：（Ⅰ）∵由已知條件得
e=
c
a
=
a2-b2
a
=
3
2
1
a2
+
3
4b2
=1
，
解得a=2，b=1
∴橢圓的方程為
y2
4
+x2=1（5分）
（Ⅱ）依題意，設(shè)l的方程為y=kx+
3
，
由 
y=kx+
3
y2
4
+x2=1
⇒(k2+4)x2+2
3
kx-1=0，
△＞0，（8分）x1+x2=
-2
3
k
k2+4
，x1x2=
-1
k2+4
，
由已知
m
⊥
n
．得：
a2x1x2+b2y1y2=4x1x2+(kx1+
3
)(kx2+
3
)
=(4+k2)x1x2+
3
k(x1+x2)+3（12分）
=(k2+4)(-
1
k2+4
)+
3
k•
-2
3
k
k2+4
+3=0，
解得k=±
2
（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程的求法，考查直線的斜率的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長公式的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）=log2[2x2-（a-3）x-a2+3a-2]在（-∞，-1]上為減函數(shù)，則常數(shù)a的取值范圍是（　　）
A、a≥-1B、1＜a＜3
C、a＞-1D、a＞3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

有以下命題：
①如果向量
a
，
b
與任何向量不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么
a
，
b
的關(guān)系是不共線；
②O，A，B，C為空間四點(diǎn)，且向量
OA
，
OB
，
OC
不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么點(diǎn)O，A，B，C一定共面；
③若向量
p
空間的一個(gè)單位正交基底
a
，
b
，
c
下的坐標(biāo)為（1，2，3），那么向量
p
在基底
a
+
b
，
a
-
b
，
c
下的坐標(biāo)為（
3
2
，-
1
2
，3）．
④若A，B，C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外一點(diǎn)，
OM
=
1
3
OA
+
1
3
OB
+
1
3
OC
，則點(diǎn)M一定在平面ABC上，且在△ABC的內(nèi)部．
其中正確的命題是（　　）
A、①②B、①③④
C、②③④D、①②③

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（　�。�
A、12
B、16
C、24+4
5
D、8+
8
2
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，P是△ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足
BA
+
BC
=
2
3
BP
，D，E是BP的三等分點(diǎn)，則（　�。�
A、
BA
=
EC
B、
BA
+
BC
=
DP
C、
PA
+
PC
=4
BD
D、
PA
-
PC
=
BC
-
BA

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

討論方程-|-x+3|+2=a根的情況．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（
2
，0），且拋物線y=
1
4
x2的焦點(diǎn)是橢圓C1的另一個(gè)頂點(diǎn)．
（l）求橢圓C1的方程；
（2）①若直線l：y=kx+m同時(shí)與橢圓C1和曲線C2：x2+y2=
4
3
相切，求直線l的方程．
②若直線l：y=kx+m與橢圓C1交于M，N，且直線OM的斜率是kOM與直線ON的斜率kON滿足kOM+kON=4k（k≠0），求證：m2為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某中學(xué)對(duì)高二甲、乙兩個(gè)同類班級(jí)進(jìn)行加強(qiáng)語文閱讀理解訓(xùn)練對(duì)提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題得分率作用的試驗(yàn)，其中甲班為實(shí)驗(yàn)班（常規(guī)教學(xué)，無額外訓(xùn)練），在試驗(yàn)前的測試中，甲、乙兩班學(xué)生在數(shù)學(xué)應(yīng)用題上的得分率基本一致，試驗(yàn)結(jié)束后，統(tǒng)計(jì)幾次數(shù)學(xué)應(yīng)用試題測試的平均成績（均取整數(shù)）如表所示：
60分以下61-70分71-80分81-90分91-100分
甲班（人數(shù)）36111812
乙班（人數(shù)）39131510
現(xiàn)規(guī)定平均成績?cè)?0分以上（不含80分）的為優(yōu)秀．
（1）試分析估計(jì)兩個(gè)班級(jí)的優(yōu)秀率；
（2）由以上統(tǒng)計(jì)列出2×2列聯(lián)表．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知角α的終邊在第二象限，且與單位圓交于點(diǎn)P（m，
15
4
）．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）求
sin(α+
π
4
)
sin(π+2α)-sin(
3π
2
-2α)+1
的值．

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