Question

13．已知函數f（x）=lnx+x²-2ax+1（a為常數）．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若存在x₀∈（0，1]，使得對任意的a∈（-2，0]，不等式2me^a+f（x₀）＞a²+2a+4（其中e為自然對數的底數）都成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出原函數的導函數，然后對a分類討論，分析原函數的單調性；
（2）根據（1）中的討論結果求出f（x₀）的最大值f_max（x₀），則原題轉化為對任意的a∈（-2，0]，不等式me^a+f_max（x₀）＞a²+2a+4恒成立，分離參數m，再由導數求得新函數g（a）的最大值，得出m的范圍．

解答 解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-2a=$\frac{2{x}^{2}-2ax+1}{x}$．
令f′（x）=0得2x²-2ax+1=0．
①若△=4a²-8≤0即-$\sqrt{2}≤a≤\sqrt{2}$時，則f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
②若△=4a²-8＞0即a$＜-\sqrt{2}$或a$＞\sqrt{2}$時，f′（x）=0的解為x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，x₂=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$．
∵x₁x₂=$\frac{1}{2}$，x₁+x₂=a，
∴當a＜-$\sqrt{2}$時，x₁＜x₂＜0，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
當a$＞\sqrt{2}$時，0＜x₁＜x₂，
∴當0＜x＜$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$或x＞$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$時，f′（x）＞0，
當$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$＜x＜$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$時，f′（x）＜0．
綜上，當a$≤\sqrt{2}$時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
當a$＞\sqrt{2}$時，f（x）在（0，$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$）上單調遞增，在（$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$）上單調遞減，在（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，+∞）上單調遞增．
（2）由（1）可知當a∈（-2，0]時，f（x）在（0，1]上單調遞增，
∴f_max（x₀）=f（1）=2-2a．
又∵存在x₀∈（0，1]，使得對任意的a∈（-2，0]，不等式2me^a+f（x₀）＞a²+2a+4都成立，
∴不等式2me^a+2-2a＞a²+2a+4恒成立，即2me^a＞a²+4a+2恒成立．
∴m＞$\frac{{a}^{2}+4a+2}{2{e}^{a}}$恒成立．
令g（a）=$\frac{{a}^{2}+4a+2}{2{e}^{a}}$，則g′（a）=$\frac{-{a}^{2}-2a+2}{2{e}^{a}}$．
令g′（a）=0解得a=-1+$\sqrt{3}$（舍）或a=-1-$\sqrt{3}$（舍）．
∴當-2＜a≤0時，g′（a）＞0，g（a）在（-2，0]上是增函數，
∴當a=0時，g（a）取得最大值g（0）=1．
∴m＞1．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，考查函數恒成立問題的解決方法，分離參數法，解答此題的關鍵在于把恒成立問題轉化為關于a的不等式，屬難度較大題目．