Question

19．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與直線x+y=1交于P、Q兩點，且OP⊥OQ，其中O為坐標原點．橢圓的離心率e滿足$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤e≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則橢圓長軸的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]
• B． [$\sqrt{3}$，2]
• C． [$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]
• D． [$\sqrt{5}$，$\sqrt{6}$]

Answer 1

分析 設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線方程與橢圓方程聯立化為：（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0，△＞0．由OP⊥OQ，可得$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=0，把根與系數的關系可得：a²+b²=2a²b²．由橢圓的離心率e滿足$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤e≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，化為$\frac{1}{3}≤$$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$$≤\frac{1}{2}$，即可得出．

解答 解：設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
聯立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，化為：（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0，
△=4a⁴-4（a²+b²）（a²-a²b²）＞0，化為：a²+b²＞1．
x₁+x₂=$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}-{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$．
∵OP⊥OQ，
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁-1）（x₂-1）=2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，
∴2×$\frac{{a}^{2}-{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$-$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$+1=0．
化為a²+b²=2a²b²．
∴b²=$\frac{{a}^{2}}{2{a}^{2}-1}$．
∵橢圓的離心率e滿足$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤e≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{1}{3}≤{e}^{2}$$≤\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{3}≤$$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$$≤\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{3}$≤1-$\frac{1}{2{a}^{2}-1}$≤$\frac{1}{2}$，
化為5≤4a²≤6．
解得：$\sqrt{5}$≤2a≤$\sqrt{6}$．滿足△＞0．
∴橢圓長軸的取值范圍是[$\sqrt{5}$，$\sqrt{6}$]．
故選：D．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、向量垂直與數量積的關系、一元二次方程的根與系數的關系、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．