Question

8．已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)（$\frac{{a}^{2}}{c}$，-$\frac{ab}{c}$）與點(diǎn)F₁關(guān)于直線y=-$\frac{bx}{a}$對(duì)稱，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出過F₁（c，0）且垂直于$y=-\frac{bx}{a}$的直線方程，求出它與$y=-\frac{bx}{a}$的交點(diǎn)坐標(biāo)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入雙曲線方程化簡求解即可．

解答 解：由題意過F₁（c，0）且垂直于$y=-\frac{bx}{a}$的直線方程為$y=\frac{a}（x-c）$，
它與$y=-\frac{bx}{a}$的交點(diǎn)坐標(biāo)為$（\frac{a^2}{c}，-\frac{ab}{c}）$，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為$（\frac{{2{a^2}}}{c}-c，-\frac{2ab}{c}）$，
因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線上，$\frac{{{{（\frac{{2{a^2}}}{c}-c）}^2}}}{a^2}-\frac{{{{（-\frac{2ab}{c}）}^2}}}{b^2}=1$，
∵a²+b²=c²，可得c²=5a²，∴$\frac{c^2}{a^2}=5$，
∴$e=\frac{c}{a}=\sqrt{5}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用．是基礎(chǔ)題．