Question

4．已知$f（{\frac{a+2b}{3}}）=\frac{f（a）+2f（b）}{3}$，f（1）=1，f（4）=7，則f（2016）=（　�。�

• A． 4028
• B． 4029
• C． 4030
• D． 4031

Answer 1

分析 由條件令a=4，b=1，得f（2）=3，令a=1，b=4，得f（3）=5，猜想：f（n）=2n-1（n∈N*）．再由數(shù)學(xué)歸納法證明，即可求出f（2016）的值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）滿足對任意實數(shù)a，b，有知$f（{\frac{a+2b}{3}}）=\frac{f（a）+2f（b）}{3}$，
∴由f（1）=1，f（4）=7，
令a=4，b=1，得f（2）=$\frac{f（4）+2f（1）}{3}$=3，
令a=1，b=4，得f（3）=$\frac{f（1）+2f（4）}{3}$=5，
猜想：f（n）=2n-1（n∈N*）．①
證明：當n=1，2，3，4時①成立．
假設(shè)n≤k（k＞4且k為整數(shù)），①都成立．
令a=k-2，b=k+1，得f（k）=$\frac{f（k-2）+2f（k+1）}{3}$，
∴f（k+1）=$\frac{1}{2}$[f（k）-f（k-2）]=$\frac{1}{2}$[3（2k-1）-2（k-2）+1]=2（k+1）-1，
即對n=k+1．f（k+1）=2（k+1）-1成立．
∴對任意正整數(shù)n，f（n）=2n-1（n∈N^*）都成立．
∴f（2016）=2×2016-1=4031．
故選：D．

點評 本題考查抽象函數(shù)及運用，考查賦值法的運用，同時考查運用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的命題，屬于中檔題